CALCULO-II

Considere o ponto P no espaço tridimensional com coordenadas esféricas (ρ,θ,ϕ)=(2,π4,π3)(ρ,θ,ϕ)=(2,π4,π3)(\rho,\theta,\phi) = \left( 2,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3} \right). A conversão das coordenadas esféricas para coordenadas retangulares envolve utilizar as relações apropriadas entre (ρ,θ,ϕ)(ρ,θ,ϕ)(\rho,\theta,\phi) e (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z).

Neste sentido, assinale a alternativa que indique as coordenadas retangulares do ponto 𝑃.

Observe a integral tripla   ∭Volumef(x,y,z).dV  ∭Volumef(x,y,z).dV\ \ \iiint_{\text{Volume}}^{}f(x,y,z).\, dV, onde V é a região delimitada pelo equação x2+y2=4x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 e os planos z=0 e z=3. Utilizando a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas,  transforme a integral de sistema de coordenadas cartesiano (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) para coordenadas cilíndricas (r,θ,z)(r,θ,z)(r,\theta,z), e indique a nova expressão da integral. Depois assinale a alternativa correta.

Lembre-se que, em coordenadas cilíndricas, as variáveis r, e z são usadas, onde x=rcos⁡θ, y=r sin⁡θ, e dV=rdrdθdz.

Um sólido E é delimitado pelo parabolóide z=4−x2−y2z=4−x2−y2z = 4 - x^{2} - y^{2} e pelo plano z=0z=0z = 0. Este sólido pode ser analisado utilizando coordenadas cilíndricas. Para calcular o volume de E, é necessário configurar uma integral tripla. No processo de resolução, considere a transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas.

Diante os valores apresentados, calcule o volume do sólido 𝐸 utilizando coordenadas cilíndricas. Depois assinale a alternativa correta.

Considere um campo escalar f(x,y,z)=x3y+xe3zf(x,y,z)=x3y+xe3zf(x,y,z) = x^{3}y + xe^{3z}. O gradiente desse campo é um campo vetorial que pode ser calculado pelas derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Diante disso, gradiente de um campo escalar em R3R3\mathbb{R}^{3} e suas propriedades, analise as afirmativas a seguir.

I. O gradiente de f é sempre perpendicular às curvas de nível de f.

II. O gradiente de f aponta na direção de menor variação de f.

III. O gradiente de f em ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z)\nabla f(x,y,z) é dado por (3x2y+e3z,x3,3xe3z)(3x2y+e3z,x3,3xe3z)\left( 3x^{2}y + e^{3z},x^{3},3xe^{3z} \right).

IV. O gradiente de f em ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z)\nabla f(x,y,z) é dado por (3x2y+e3z,x3,3xe3z+y)(3x2y+e3z,x3,3xe3z+y)\left( 3x^{2}y + e^{3z},x^{3},3xe^{3z} + y \right).

V. O gradiente de f pode ser nulo em alguns pontos específicos de R3R3\mathbb{R}^{3}.

Está correto o que se afirma em:

Seja um sólido no espaço, delimitado pelos planos z=0 e z=3, e pela círculo no plano descrito pela expressão x2+y2=4x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4. Determine o volume do sólido, por meio do cálculo de uma integral tripla, utilizando coordenadas cilíndricas.

Considere uma função contínua f(x,y)f(x,y)f(x,y) definida em uma região R no plano xy. Para transformar a integral dupla dessa função em coordenadas polares, é necessário entender as relações entre coordenadas cartesianas e polares. Em coordenadas cartesianas, temos os pares ordenados (x,y)(x,y)(x,y), enquanto em coordenadas polares utilizamos os pares (r,θ)(r,θ)(r,\theta), onde r é a distância de um ponto P até a origem O, e θθ\theta é o ângulo entre a reta PO¯¯¯¯¯¯¯¯PO¯\overline{PO} e o eixo x.

Assinale a alternativa que apresenta corretamente as relações entre coordenadas cartesianas e polares.

A integral tripla é uma ferramenta matemática usada para calcular volumes e outras grandezas em regiões tridimensionais. Ela se aplica a funções de três variáveis e envolve a integração iterativa ao longo de três dimensões. As integrais triplas são muito utilizadas em física, engenharia e cálculo multivariáveis para resolver problemas relacionados a volumes, massas e centros de gravidade.

Seja a integral tripla I=∭Bxyz2dVI=∭Bxyz2dVI = \iiint_{B}^{}xyz^{2}\, dV onde B é a caixa retangular dada por B={(x,y,z)∣0≤x≤1,−1≤y≤2,0≤z≤3}.B={(x,y,z)∣0≤x≤1,−1≤y≤2,0≤z≤3}.B = \{(x,y,z) \mid 0 \leq x \leq 1,\, - 1 \leq y \leq 2,\, 0 \leq z \leq 3\}.

Calcule o valor da integral III usando qualquer ordem de integração para as coordenadas cartesianas (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z), e assinale a resposta obtida, dentre as alternativas abaixo:

Considere a integral dupla ∬R(3x+4y2)dA∬R(3x+4y2)dA\iint_{R}^{}\left( 3x + 4y^{2} \right)\, dA, onde 𝑅 é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x2+y2=1x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 e x2+y2=4x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4. Utilizando a transformação para coordenadas polares, onde x=r⋅cos(θ)x=r⋅cos⁡(θ)x = r \cdot \cos (\theta) e y=r⋅sin(θ)y=r⋅sin⁡(θ)y = r \cdot \sin (\theta), realize o cálculo e assinale a alternativa que apresenta o valor da integral dupla.

Considerando as diferentes formas de representação de curvas no plano e no espaço estudadas, associe cada tipo de curva à sua respectiva equação ou descrição. A análise das curvas inclui trajetórias parametrizadas, funções explícitas e implícitas, bem como representações polares e espaciais. Essas curvas desempenham papéis fundamentais na modelagem matemática de fenômenos físicos e geométricos.

Com base nesse conceito, identifique e associe corretamente as curvas às suas representações paramétricas.

Assinale a alternativa que contém a associação correta:

Considere um campo de força contínuo no espaço dado por \(\overrightarrow{F} = P\overrightarrow{i} + Q\overrightarrow{j} + R\overrightarrow{k}\). Suponha que a curva \(C\) seja uma hélice circular parametrizada por \(x = \cos (t)\), \(y = \operatorname{sen} (t)\) e \(z = t\) para \(0 \leq t \leq 2\pi\). Calcule o trabalho exercido pela força \(\overrightarrow{F}\) ao mover uma partícula ao longo da curva \(C\), em que \(\overrightarrow{F} = P\overrightarrow{i} + Q\overrightarrow{j} + R\overrightarrow{k}\). O trabalho \(W\) é dado por: \(W = \int_{C}^{}\overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_{C}^{}(P\, dx + Q\, dy + R\, dz)\)

Nesse sentido, assinale a alternativa que representa o valor do trabalho realizado:

A Regra da Cadeia é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial, permitindo a diferenciação de funções compostas de várias variáveis. Quando temos funções que dependem de outras funções, a Regra da Cadeia nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função composta em relação a uma variável específica. Isso é particularmente útil em problemas de física, engenharia e economia, onde variáveis intermediárias estão frequentemente interligadas.

Sobre este conteúdo, considere as funções x(t)=t2x(t)=t2x(t) = t^{2}e y(t)=sen(t)y(t)=sen⁡(t)y(t) = \operatorname{sen} (t). Assinale a alternativa que apresenta corretamente a derivada de f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2f(x,y) = x^{2} + y^{2} em relação a ttt no ponto t=π2t=π2t = \frac{\pi}{2}​.

A Regra da Cadeia é uma técnica poderosa no cálculo diferencial, especialmente útil ao lidar com funções compostas de várias variáveis. Esta regra permite determinar a taxa de variação de uma função em relação a uma variável específica, mesmo quando a função depende de outras variáveis intermediárias. Em situações complexas onde as dependências entre variáveis são múltiplas, a Regra da Cadeia facilita a derivação correta e eficiente.

Neste contexto, considere a função w=f(x,y,z)w=f(x,y,z)w = f(x,y,z), onde x=g(u,v)x=g(u,v)x = g(u,v), y=h(u,v)y=h(u,v)y = h(u,v) e z=k(u,v)z=k(u,v)z = k(u,v). Suponha que f, g, h e k são funções diferenciáveis, e seja w=xy+yzw=xy+yzw = xy + yz, x=u+v,y=eux=u+v,y=eux = u + v,y = e^{u} e z=cosvz=cos⁡vz = \cos v. Assinale a alternativa que apresenta corretamente a derivada de w em relação a u.

No estudo de funções de várias variáveis, a diferenciabilidade é um conceito fundamental que estende a ideia de derivadas de funções de uma variável para dimensões superiores. Uma função é dita diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente naquele ponto, permitindo uma análise local precisa do comportamento da função. O plano tangente fornece uma linearização da função ao redor do ponto de interesse, facilitando a compreensão e a resolução de problemas envolvendo mudanças infinitesimais.

Com relação a este tema, considere a função f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2f(x,y) = x^{2} + y^{2}. Identifique  se a função é diferenciável no ponto (1,2)(1,2)(1,2), e defina a equação do plano tangente ao gráfico dessa função nesse ponto.

Considerando a função g(x,y)=x3−3xy2g(x,y)=x3−3xy2g(x,y) = x^{3} - 3xy^{2}, assinale a alternativa que apresenta as coordenadas dos seus pontos críticos.

Considere um campo vetorial FFF, em uma região de volume  VVV e delimitada por uma superfície fechada S. Assinale a alternativa que representa a descrição do Teorema de Gauss.