Cálculo I

No cálculo é necessário entender o comportamento das diferentes funções, assim como as funções transcedentais, onde cada tipo possui definição e características específicas. Essas características se refletem nas representações geométricas, na resolução para encontrar as raízes entre outras informações.

Considerando as informações apresentadas e o seu conhecimento sobre funções transcedentais, identifique se são (V) verdadeiras ou (F) falsas as afirmativas a seguir.

1. (  ) . s e n² x + cos² x = 1
2. (  ) . Error converting from MathML to accessible text.
3. (  ) . Error converting from MathML to accessible text.

Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA.

Considere a função 𝑓(𝑥) = (x + 1) / (x - 1) . Identifique o domínio 𝐷(𝑓) e a imagem 𝐼𝑚(𝑓) da função 𝑓.

As funções são relações que, dado um ponto em seu domínio, associam-no a um ponto em sua imagem. Entendemos que o domínio de uma função, quando não explicitado, é o conjunto de todos os pontos para os quais é possível aplicar a regra dessa função, e a imagem de uma função é o conjunto de todos os pontos y para os quais existe x no domínio tal que f(x)=y.

Considerando a função f (x) = (x² - 9) / (x + 3) , assinale a alternativa que apresenta corretamente os conjuntos domínio (D), imagem (Im) e os pontos em que fé contínua. 

Em diversos contextos, podemos ter a representação matemática utilizando limites de funções, e tanto a variável independente pode tender a mais ou menos infinito quanto a variável dependente pode tender a valores infinitesimais. Para isso, é necessário analisar o comportamento da função, além de ser possível fazer uma tabela estimando valores para analisar o comportamento do limite.

Resolva limite como x seta para a direita 3 de começar estilo em linha ( - 1) / ((x - 3)²) fim do estilo  e assinale a alternativa que corresponde ao resultado. 

A continuidade é um conceito fundamental em matemática que tem implicações significativas em várias áreas de estudo. A importância da continuidade decorre de seu papel na compreensão do comportamento e das propriedades das funções.

Considere a função f (x) definida por:

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Para que valor de L a função f (x) é contínua?

A aplicação das funções trigonométricas está principalmente associada a situações em que ocorre um comportamento cíclico, uma oscilação periódica incluindo aplicações na acústica, vibrações como sinais de rádio, comunicação marítima, radares e movimento ondulatório.

Considerando as informações apresentadas e o seu conhecimento sobre funções, aplique as proposições sobre funções trigonométricas e identifique se são (V) verdadeiras ou (F) falsas as afirmativas a seguir.

1. (  )cosseno 100°=seno 190°. 

2. (  )seno 135°=-cosseno 225°. 

3. (  )seno 30°=cosseno (75°).

Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA.

Considere a função f (x) = log _2 (x² - 1) . Identifique o domínio 𝐷(𝑓) e a imagem 𝐼𝑚(𝑓) da função 𝑓.

No estudo de limite, analisamos o comportamento das funções. Por exemplo, quanto maior o valor de x , haverá um comportamento para os resultados da função que pode exemplo ser crescente ou decrescente, ou seja, variando os valores de x vamos buscar analisar os valores de y .

Após a análise do problema apresentado, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 

I. Quando existe uma função f (x)  definida em um intervalo aberto, contendo a , exceto o próprio a , dizemos que o limite de f (x)  quando x se aproxima de a é L .

PORQUE 

II. Para todo épsilon > 0  existe um delta > 0 tal que | f (x) - L | < épsilon sempre que 0 < | x - a | < delta.

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

Considere a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥² + 𝑏𝑥 + 1. Note que seu gráfico contém o ponto (0,1), isto é 𝑓(0) = 1. Sabendo que a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) no ponto (0,1) é dada por 𝑦 = 1 + 5𝑥, determine o coeficiente 𝑏 e assinale a alternativa correta:

Funções trigonométricas são funções relacionadas aos triângulos retângulos e aos círculos, também sendo chamadas de funções circulares. Entre as funções trigonométricas, estão as funções seno e cosseno que, de certa forma, são as “principais” dentre as funções trigonométricas, uma vez que as demais podem ser obtidas a partir dessas funções. Uma outra propriedade interessante é que, em geral, as funções trigonométricas são funções periódicas, ou seja, elas repetem-se após uma certa variação na variável x.

Seja Error converting from MathML to accessible text. , assinale a alternativa que apresenta os possíveis valores de x.

Dentre os conceitos estudados no cálculo, estão as funções contínuas e as funções deriváveis. Uma forma intuitiva de saber se uma função é contínua é que, quando desenhamos o gráfico de uma função contínua, não é necessário tirar o lápis do papel. No caso das funções diferenciáveis, uma forma intuitiva de verificar se uma função é diferenciável, é verificar se o seu gráfico não faz “bicos”.

Considere a função a seguir sobre o conjunto dos números reais.

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Com relação à continuidade e à derivada da função f, assinale a alternativa correta.

O teorema do confronto, também chamado de teorema do sanduíche, é uma ferramenta bastante útil para encontrar limites de funções que, a uma primeira vista, não possuem limite ou cujo limite leva a uma indeterminação.

Seja c uma constante real positiva e Error converting from MathML to accessible text. . Assinale a alternativa que representa o valor de Error converting from MathML to accessible text.

A palavra trigonometria tem sua etimologia na língua grega. Ela é formada por tri(três), gonia (ângulo) e métron (medida). Assim, a palavra trigonometria remete às medidas feitas em triângulos; é um estudo das relações matemáticas envolvendo comprimentos, alturas e ângulos de diferentes triângulos. As origens da trigonometria remontam às civilizações do antigo Egito, Mesopotâmia e Índia, há mais de 4000 anos. No geral, podemos dizer que todas as funções trigonométricas podem ser obtidas a partir das funções seno e cosseno.

Seja f (x) = (s e n² (x) cos³ (começar estilo mostrar (1) / (3 x) fim do estilo)) / x . Assinale a alternativa que apresenta o valor de Error converting from MathML to accessible text.

Considere a função "raiz n-ésima de 𝑥” dada por 𝑓(𝑥) =  n enésima raiz de x , em que 𝑛> 0 é um número natural. Calcule a derivada 𝑓(𝑥) e assinale a alternatica correta:

Funções trigonométricas são funções relacionadas aos triângulos retângulos e aos círculos, também sendo chamadas de funções circulares. Entre as funções trigonométricas, estão as funções seno e cosseno que, de certa forma, “geram” as demais funções. Podemos ainda ir um pouco além e perceber que o cosseno é uma translação do seno, logo podemos dizer que todas as funções trigonométricas são geradas a partir do seno.

Seja f Error converting from MathML to accessible text. . Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor de Error converting from MathML to accessible text.

Pela definição, a derivada de uma função y = f (x) é a função f apóstrofo (x) , na qual se lê f linha de x. Esse valor, para qualquer um dos pontos do domínio da função, corresponde a Error converting from MathML to accessible text. , se esse limite existir. Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio.

Descreva o resultado de Error converting from MathML to accessible text.  dada a função Error converting from MathML to accessible text.  aplicando a definição e assinale a alternativa que o corresponde.

Considere a função  f (x) = (x² - 2 x + 1) / (x - 1) sin (1 / (x - 1)) . Calcule o limite de 𝑓(𝑥) para 𝑥 tendendo a 1 e assinale a alternativa correta:

No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y = f (x)  é representada por (d y) / (d x) . Essa simbologia não representa uma divisão nem uma fração. Um exemplo típico é a função velocidade, na qual a função aceleração corresponde à derivada da função velocidade.

Defina a derivada de uma função e assinale a alternativa que corresponde à definição de derivada.

Seja 𝑦(𝑥) uma função real derivável satisfazendo a seguinte equação 𝑦(𝑥)³ + 𝑥(𝑦(𝑥)² + 𝑦(𝑥)) − 1 = 0. Com respeito à derivada de 𝑦(𝑥) no ponto 𝑥 = 0, é correto afirmar que:

Seja 𝑓(𝑥) função derivável. Com respeito à derivada da função 𝑔(𝑥) = 𝑥² 𝑓(𝑥), é correto afirmar:

Considere que uma função  f ^( - ) 1 fim do exponencial  é a função inversa de f . Assim, temos que a definição da derivada da função inversa é: Se f  é ____________ em todo ponto de um intervalo I  e (d f) / (d x) ___________ é zero em  I  , então,   f __________ uma inversa f ^( - ) 1 fim do exponencial  que é diferenciável em ____________ ponto do intervalo I .

Preencha as lacunas escolhendo a alternativa CORRETA.

Alguns problemas de cálculo de derivada necessitam que, antes de realizar a derivação propriamente dita, a função seja reescrita para uma função equivalente (que se aproxime das funções cuja derivada é conhecida). Esse procedimento é necessário para facilitar a aplicação de técnicas e de regras de derivação de funções.

Ilustre a derivada da função f (x) = x ^(x)  para x > 0  e assinale a alternativa correspondente.

Existem várias regras e técnicas que são utilizadas para encontrar as derivadas de funções. Também podemos mesclar as regras, utilizando duas ou mais delas em uma mesma função.

Seja f (x) = x² (x + 5) ^(5) . Assinale a alternativa que apresenta a expressão que determina corretamente f'(x).

No teorema de Taylor, temos a definição de polinômio de Taylor. Além disso, há a descrição sobre existência e como calcular um erro na aproximação dos valores. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 1, em volta de x₀ = 1 , é possível avaliar valores, como para   Error converting from MathML to accessible text.

Resolva a expressão para Error converting from MathML to accessible text.  e assinale a alternativa correspondente.

Uma indeterminação acontece quando nos deparamos com um limite que, inicialmente, não temos como calcular. Não significa que o limite não existe, mas não temos como saber o seu valor por meios convencionais. Uma forma de lidar com algumas indeterminações é utilizando a regra de L’Hospital.

Seja Error converting from MathML to accessible text. . Assinale a alternativa que apresenta o valor de Error converting from MathML to accessible text.

Na matemática, o ideal é sempre encontrar respostas exatas. No entanto, em alguns problemas, nem sempre é possível trabalhar com os exatos valores das funções. Nesse sentido, é comum usar aproximações para os valores das funções em questão. Uma das formas de se aproximar o valor de uma função é utilizando o teorema de Taylor.

Assinale a alternativa que apresenta o erro obtido quando utilizamos o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função f(x)=ln(x) no ponto x=1,01, utilizando como referência o ponto a=1. 

Polinômios são considerados funções bastante simples, mas possuem propriedades bastante interessantes. São bem definidos, contínuos e deriváveis em toda a reta, e existem séries de polinômios que podem aproximar a maior parte das funções reais. 

Assinale a alternativa que apresenta o polinômio de Taylor de ordem 2 utilizado para aproximar a função f(x)=e^kx para algum x, utilizando como referência o ponto a.

Máximos e mínimos de funções são pontos em que a função atinge um valor máximo, ou mínimo, em uma determinada vizinhança do ponto. Se o ponto em questão for um ponto de máximo (ou mínimo) para todo o domínio, então dizemos que ele é um máximo (ou mínimo) global.

Com relação aos pontos de máximo, mínimo e pontos críticos, assinale a alternativa correta.

Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥− 3. Com respeito a pontos de máximo e mínimo da função 𝑓(𝑥), é correto afirmar que:

Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥² (𝑙𝑛(𝑥 + 𝑒) − 1). Com respeito as características do ponto 𝑥 = 0, é correto afirmar que:

As somas de Riemann nos fornecem uma ideia visual do significado de uma integral. Com isso, é possível visualizar que a integral pode ser usada para calcular a área desde que a função escolhida seja não negativa.

Seja f(x) uma função ímpar. Assinale a alternativa correta.

O estudo sobre integral de Riemann fornece informações para resolver vários problemas relacionados ao cálculo da integral. Considerando as funções f (x) e g (x) integráveis no intervalo [a, b] , temos algumas propriedades da integral em decorrência da definição de integral de Riemann. Considerando Error converting from MathML to accessible text. , analise as informações a seguir.

1 .     Error converting from MathML to accessible text.

2 .     Error converting from MathML to accessible text.

3.     Error converting from MathML to accessible text.  

I. 186.

II . 19.

III. 48. 

Categorize os grupos acima e assinale a alternativa que correlaciona adequadamente os dois grupos de informação. 

As integrais indefinidas não têm um intervalo de integração, mas servem para encontrar a função original a partir de sua derivada. Seja f uma função definida no intervalo I , temos que, para todo x , teremos uma função F definida em I , de forma que Error converting from MathML to accessible text.  

Nomeie F e assinale a alternativa correspondente.

O teorema fundamental do cálculo fornece orientação de como resolver uma integral definida, pois considera o intervalo [a, b] (em que a integral está definida) na resolução do problema. 

Aplique o teorema fundamental do cálculo para f (x) = x³ + 2 x no intervalo de x = 1 até x = 2 .

Aplique o cálculo de área em f (x) e assinale a alternativa correspondente. 

A integral é um número que calculamos em um intervalo [a, b], em que a e b são números reais e fixos. Agora, se deixarmos a extremidade b livre, poderíamos estudar a integral de uma função y = f(x) no intervalo [a, x], em que x é variável. Portanto a integral, dependendo de x, é variável também, dependendo, por sua vez, de x, ou seja, seria uma função de x

Assim sendo, demonstre as integrais indefinidas:  Error converting from MathML to accessible text. .

Frações parciais é uma técnica usada para simplificar e decompor uma função racional, que é uma razão de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples. A ideia por trás das frações parciais é expressar uma fração com um denominador que pode ser fatorado em fatores mais simples, como uma soma de frações, cada uma com um denominador mais simples. Para fazer isso, começamos fatorando o denominador da função racional em fatores irredutíveis. Então, para cada fator, escrevemos uma fração parcial com um numerador de grau menor que o denominador. A forma da fração parcial depende do grau do fator no denominador. Essa técnica pode ser útil para integrar frações racionais, uma vez que obtemos uma soma de funções mais simples.

Utilizando as frações parciais encontre integral 1 / (x² - 16) d x .

É verdade que a técnica para cálculo de integral ______________ da forma integral f (g (x)) g apóstrofo (x) d x considera que sejam f e g , tais que Error converting from MathML to accessible text. , com g ____________. 

Suponhamos que Error converting from MathML to accessible text. _______________ uma primitiva de f , isto é, Error converting from MathML to accessible text. . 

Segue que Error converting from MathML to accessible text. _________ uma primitiva de Error converting from MathML to accessible text.

De fato, ( Error converting from MathML to accessible text. . Desse modo, Error converting from MathML to accessible text. , logo Error converting from MathML to accessible text. . 

O processo de integração envolve encontrar uma antiderivada da função que está sendo integrada. Uma antiderivada é uma função que, quando diferenciada, dá a função original. Isso significa que o processo de integração é essencialmente o inverso da diferenciação. Para realizar a integração, existem várias técnicas disponíveis, como substituição, integração por partes e frações parciais. A escolha da técnica depende da complexidade da função a ser integrada e das ferramentas disponíveis.

Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta  integral ln (2 x) d x .

A integração tem uma ampla gama de aplicações práticas, desde o cálculo de áreas e de volumes até de probabilidades, processamento de sinais e problemas de otimização. Escolher a melhor técnica de integração requer alguma familiaridade com os métodos disponíveis e com o próprio integrando. Quanto mais você praticar, melhor reconhecerá qual técnica usar. Com a experiência, você desenvolverá uma noção de quais métodos são mais eficazes para diferentes tipos de integrais.

Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta  integral e ^(x) s e n (x) d x .

Podemos calcular a integral de uma função diretamente se conhecemos a primitiva da função. No entanto nem sempre a função a ser integrada é uma função elementar ou uma combinação de funções elementares. Nesse caso, é preciso lançar mão de estratégias alternativas, como o uso de técnicas de integração.

Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta  integral (ln (x)) / x d x .

Considere a curva y=xⁿ. Quando né um inteiro positivo, a curva é uma função potência que começa na origem e cresce rapidamente à medida que x aumenta. Essas curvas podem ser usadas para modelar uma ampla gama de fenômenos, desde o crescimento de populações até o decaimento de materiais radioativos. Por exemplo, a função y=xⁿ pode ser usada para modelar o crescimento de uma população de bactérias, em que n representa a taxa de crescimento.

Seja n um número natural. Calcule a área entre as curvas  y=xⁿ e y=xⁿ⁺¹.

Quando calculamos a área limitada pelo gráfico de uma função, consideramos a área limitada pelo eixo cartesiano x e o gráfico da função. Contudo, para a função f (x) = x³ no intervalo x = - 1 até Error converting from MathML to accessible text. , ao aplicar a integral, o resultado é zero, mas ao rascunhar o gráfico é visível que existem duas áreas e que a soma dessas áreas não será negativa. Esse é um problema que exige outra estratégia de resolução para cálculo da área.

Após análise do problema apresentado, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 

I. Para calcular a área limitada pela função x³ , é necessário separar em dois intervalos.

PORQUE 

II. Assim, será possível somar as áreas sem que se anulem.

Considere a função f (x) = 2 / x . Determine o valor de 𝑏 para o qual a região delimitada pelo gráfico de 𝑓(𝑥) e pelas retas 𝑦 = 0, 𝑥 = 1 e 𝑥 = 𝑏 possua área igual a 3.

Calcular a área limitada por um gráfico, dada uma função e um intervalo [a,b], é uma aplicação do cálculo das integrais, em especial, uma aplicação da integral definida. Essa aplicação está, diretamente, associada a um teorema, pois resulta da definição desse teorema.

Diga o nome do teorema que resulta no cálculo de área limitada por uma função e assinale a alternativa correspondente. 

Os antigos gregos fizeram contribuições significativas para o campo da geometria, incluindo o problema de encontrar a área das formas. Um dos primeiros métodos conhecidos para encontrar a área de formas foi desenvolvido pelo matemático grego Eudoxo. Eudoxo desenvolveu o método de exaustão, que é um precursor do cálculo moderno. A ideia por trás desse método é aproximar a área de uma forma inscrevendo-a ou circunscrevendo-a com uma série de formas mais simples cujas áreas são conhecidas. Ao aumentar o número de formas inscritas ou circunscritas, a aproximação torna-se mais próxima da área real da forma. Atualmente calculamos áreas entre gráficos de funções utilizando integrais.

Calcule a área delimitada pelo gráfico da função y = x⁴-2x³+x e pelo eixo x e pelas curvas y=0 e y = 1 meio + (raiz quadrada de 5) / 2 .